Question

11．已知a≥0，b≥0，a²+b²=1，求证：ab+b≥$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 由题意可设a=cosα，b=sinα，0≤α≤$\frac{π}{2}$，即有y=ab+b=（cosα+1）sinα，求出导数，求得单调区间，即可得到极小值且为最小值，进而得到证明．

解答 证明：由a≥0，b≥0，a²+b²=1，
可设a=cosα，b=sinα，0≤α≤$\frac{π}{2}$，即有y=ab+b=（cosα+1）sinα，
函数y的导数为y′=-sin²α+cosα（cosα+1）=2cos²α+cosα-1=（2cosα-1）（cosα+1），
由0≤α≤$\frac{π}{2}$，y′=0，可得cosα=$\frac{1}{2}$，即有α=$\frac{π}{3}$，
当0≤α＜$\frac{π}{3}$时，y′＞0，函数递增；
当$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{π}{2}$时，y′＜0，函数递减．
即有a=cosα=$\frac{1}{2}$，b=sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，取得最小值，为$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
则有ab+b≥$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用换元法和三角函数的恒等变换公式，结合导数求出最值，属于中档题．