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(2009•天门模拟)已知命题:
①函数f(x)=
1
lgx
在(0,+∞)上是减函数;
②已知
a
=(3,4),
b
=(0,-1),则
a
b
方向上的投影为-4;
③函数f(x)=2sinxcos|x|的最小正周期为π;
④函数f(x)的定义域为R,则f(x)是奇函数的充要条件是f(0)=0;
⑤在平面上,到定点(2,1)的距离与到定直线3x+4y-10的距离相等的点的轨迹是抛物线.
其中,正确命题的序号是
②③
②③
.(写出所有正确命题的序号).
分析:①利用复合函数的单调性和对数函数的性质进行判断.②利用向量投影的概念判断.③利用三角函数的周期性判断.
④利用函数奇偶性的定义和性质判断.⑤利用抛物线的定义判断.
解答:解:①当x=1时,lgx=0,此时函数f(x)无意义,所以①错误.
②向量
a
b
方向上的投影为
a
?
b
|
b
|
=-4
,所以②正确.
③因为y=cos|x|=cosx,所以f(x)=2sinxcos|x|=2sinxcosx=sin2x,所以函数的周期T=
2
,所以③正确.
④若f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),所以当x=0时,f(-0)=-f(0),所以f(0)=0.但若f(0)=0,则f(x)不一定是奇函数,
比如f(x)=x2,满足f(0)=0,但函数f(x)=x2,是偶函数,所以④错误.
⑤因为点(2,1)在直线3x+4y-10=0上,所以所求的轨迹不是抛物线,所以⑤错误.
故答案为:②③.
点评:本题主要考查了各种命题的真假判断,综合性较强.
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