Question

现假设红色球与黑色各有n个，且互不相同．
（1）当n=3时，若将这些球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，则有多少种不同的放法？
（2）当n=3时，若将这些球随机的配成3对，则至少有一对球的颜色一样的概率是多少？
（3）将这些球随机的配成n对，记P_n为至少有一对球的颜色一样的概率，求证：P_n-P_n-1＜

1

2

 （其中n≥3 ）．

Answer 1

分析：（1）不同的放法可以分为三类3个盒子中分别有1个、1个、4个；1个、2个、3个；2个、2个、2个．分别计算出各类中的算法再相加；
（2）由题意，可用排除法计数，先计算出总的基本事件数，再计算出颜色都不一样的事件的基本事件数，作差即可得到颜色至少有一个一样的事件所包含的基本事件数；
（3）先求出事件“这些球随机的配成n对，记P_n为至少有一对球的颜色一样”这个事件的概率表达式P_n，即可得到P_n-1，对此两者作差，化简后判断差的值取值范围即可．

解答：解：（1）这样的方法有以下几种情况：
①3个盒子中分别有1个、1个、4个，其方法数为C₆⁴A₃³=15×6=90种；…（1分）
②3个盒子中分别有1个、2个、3个，其方法数为C₆¹C₅²C₃³A₃³=360种；…（2分）
③3个盒子中分别有2个、2个、2个，其方法数为C₆²C₄²C₂²=90；…（3分）
共有540种．…（4分）
（2）配成3对的所有基本事件数有：

C 2 6 C 2 4 C 2 2

A 3 3

=15，
配成3对，每对颜色不一样，共有6种情况，所以至少有一对颜色一样的有9种
所以至少有一对颜色一样的概率为
P=

9

15

=

3

5

（8分）
（3）Pn=1-

( A n n )2

C 2 2n C 2 2n-2 … C 2 2

=1-

2n(n!)2

(2n!)

Pn-1=1-

2n-1[(n-1)!]2

[2(n-1)]!

∴P_n-P_n-1=

2n-1[(n-1)!]2

2[(n-1)]!

×

n-1

2n-1

∵

n-1

2n-1

=

n-1

2(n-1)+1

＜

1

2

，又当k∈N^*，且k＞1时，
∴2（n-k）-[2n-（k+1）]=-k+1＜0
∴

2n-1[(n-1)!]2

2[(n-1)]!

=

2n-2 A n-2 n-2

A n-2 2n-3

＜1
∴P_n-P_n-1＜

1

2

（其中n≥3 ）

点评：本题考查概率的应用，是一个应用题，本题中所给的事件较为复杂，而其对立面相对简单，故采用了正难则反的策略，解本题关键是理解所研究的事件，选择恰当的角度解决问题，本题考查了排除法的技巧，一般正面求解较为困难时，不妨考虑研究其对立面，本题第三问的证明有难度，运算量大，符号多，要认真变形，计算，熟练掌握阶乘的表达式是正确计算的保证