Question

设函数f（x）=sin2x+cos2x+1．
（1）求函数f（x）的周期和最大值；
（2）设ABCD的内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若a=1，b=2

2

，f（C）=2，求边长c及sinA的值．

Answer 1

分析：（1）利用辅助角公式，化简函数，即可求函数f（x）的周期和最大值；
（2）先求C，再利用余弦定理，求出c，利用正弦定理，可求sinA的值．

解答：解：（1）f（x）=sin2x+cos2x+1=

2

(

2

2

cos2x+

2

2

sin2x)+1=

2

sin(2x+

π

4

)+1．    …（2分）
∴f（x）的周期T=π，f(x)max=

2

+1…（4分）
（2）由f(C)=

2

sin(2C+

π

4

)+1=2，得sin(2C+

π

4

)=

2

2

…（5分）
∵0＜C＜π，∴

π

4

＜2C+

π

4

＜2π+

π

4

，∴2C+

π

4

=

3π

4

．…（6分）
∴C=

π

4

．                   …（7分）
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=12+(2

2

)2-2×1×2

2

cos

π

4

=5…（9分）
∴c=

5

…（10分）
由正弦定理得：

a

sinA

=

c

sinC

，…（11分）
即

1

sinA

=

5

2 2

，所以sinA=

10

10

．…（12分）

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查余弦定理、正弦定理的运用，属于中档题．