Question

已知f（x）对于任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＞0．
（Ⅰ）求f（0）并判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并用定义加以证明；
（Ⅲ）已知f（3）=12，集合A={（x，y）|f（x²）+f（y²）=4}，集合B=，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（I）∵f（x+y）=f（x）+f（y）
∴令x=y=0 有f （0 ）=0
再令y=-x 可得f（0）=f（x+（-x））=f（x）+f（-x）
即f（x）+f（-x）=0，得f（-x）=-f（x）
∴f （ x ）是定义在R上的奇函数．
（II）任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，故 f（x₂-x₁）＞0
又∵f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＞0
∴函数满足f（x₂）＞f（x₁），即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）为（-∞，+∞）单调增函数
（III）∵f（3）=12，∴f（1+1+1）=3f（1）=12，可得f（1）=4
∵A={（x，y）|f（x²）+f（y²）=4}，集合B=，若A∩B≠∅，
∴集合A表示的图形是单位圆：x²+y²=1，点P（x，y）在单位圆x²+y²=1上，
且单位圆x²+y²=1与直线有至少一个公共点
∴≤1，解之得a≤-2或a≥2．
分析：（I）利用赋值法，算出f （0 ）=0，进而得到f（-x）=-f（x），所以f （ x ）是定义在R上的奇函数．
（II）根据单调性的定义，任取x₁＜x₂结合题意可证出f（x₁）＜f（x₂），所以函数f（x）为其定义域内的单调增函数；
（III）由f（3）=12，可得f（1）=4，从而得到集合A表示的图形是单位圆x²+y²=1，根据题意得单位圆与直线有至一个公共点，由点到直线的距离公式建立关于a的不等式，解之即可得到实数a的取值范围．
点评：本题给出抽象函数，求函数的奇偶性、单调性并讨论集合交集不是空集的问题．着重考查了抽象函数的理解、函数的简单性质和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．