Question

已知数列{b_n}（n∈N*）是递增的等比数列，且b₁，b₃为方程x²-5x+4=0的两根，
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若a_n=log₂b_n+3，求证：数列{a_n}是等差数列；
（3）在（2）的条件下，若a₁+a₂+a₃+…+a_m≤a₄₀（m∈N*），求m的最大值。

Answer 1

解：（1）∵b₁，b₃为方程x²-5x+4=0的两个根，且b_n+1＞b_n，
∴b₁=1，b₃=4，∴b₂²=b₁b₃=4，
又b_n+1＞b_n(n∈N*)，∴b₂=2，
∴q=2，b_n=2^n-1；
（2）∵a_n=log₂b_n+3=log₂2^n-1+3=n+2，
∴数列{a_n}是首项为3，公差为1的等差数列；
（3）由（2）知a₁+a₂+…+a_m=m×3+×1=，
∴≤42，整理得m²+5m-84≤0，
又m≥1，
∴1≤m≤7，∴m的最大值是7。