Question

曲线与直线l：y=k（x-2）+4有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：要求的实数k的取值范围即为直线l斜率的取值范围，主要求出斜率的取值范围，方法为：曲线表示以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，在坐标系中画出相应的图形，直线l与半圆有不同的交点，故抓住两个关键点：当直线l与半圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值；当直线l过B点时，由A和B的坐标求出此时直线l的斜率，根据两种情况求出的斜率得出k的取值范围．
解答：解：根据题意画出图形，如图所示：

由题意可得：直线l过A（2，4），B（-2，1），
又曲线图象为以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，
当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d=r，即=2，
解得：k=；
当直线l过B点时，直线l的斜率为=，
则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围为．
故答案为：
点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键．