Question

已知P在矩形ABCD边DC上，AB=2，BC=1，F在AB上且DF⊥AP，垂足为E，将△ADP沿AP折起．使点D位于D′位置，连D′B、D′C得四棱锥D′-ABCP．
（I）求证D′F⊥AP；
（II）若PD=1并且平面D′AP⊥平面ABCP，求四棱锥D′-ABCP的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）此题属于“折叠”问题，解决这类问题的关键就在于紧紧把握住在两个折叠面内的垂直关系，因为这种关系是不变的．比如图中的AP⊥D'E，AP⊥EF，所以其实不管平面D'EF折叠到什么位置，AP⊥平面D'EF总是成立的，故AP⊥D'F也总是成立的
（2）解决棱锥求体积的问题，关键在于找到合适的高与对应的底面，切忌不审图形，盲目求解；由题目条件：平面D′AP⊥平面ABCP易得所求棱锥的高即为D'E，所以底面就是梯形ABCP，再运用棱锥体积公式就可以了
解答：证明：（I）∵AP⊥D'E，AP⊥EF，又∵D'E，EF是面D'EF内两相交直线∴AP⊥平面D'EF，∴AP⊥D'F（7分）
（II）∵PD=1，∴四边形ADPF是边长为1的正方形，
∴，
∵平面D'AP⊥平面ABCP，D'E⊥AP，
∴D'E⊥平面ABCP，（11分）
∵，
∴（14分）
点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．