Question

已知点分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F₂的距离的最大值为，且的最大面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）点M的坐标为，过点F₂且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A、B两点，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由P到焦点F₂的距离的最大值为，可得，由的最大面积为1，可得bc=1，结合a²=b²+c²，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）设直线l：y=k（x-1）代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量的数量积运算，化简即可求得的值．
解答：解：（Ⅰ）依题意，∵P到焦点F₂的距离的最大值为，
∴，①
∵的最大面积为1，
∴，②
又a²=b²+c²，③
由①②③解得：a²=2，b²=c²=1，得椭圆方程为
（Ⅱ）设直线l：y=k（x-1）代入椭圆方程，消去y整理得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
由于点M 在椭圆内，显然上式的判别式△＞0恒成立，故直线L总与椭圆C相交于A、B两点
设，
∴，，，
∴==
故=．
点评：本题考查椭圆的标准方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量的数量积，考查学生的计算能力，属于中档题．