Question

A．（不等式选讲选做题）如果存在实数x使不等式|x+1|-|x-2|＜k成立，则实数k的取值范围是

 

．
B．（几何证明选讲选做题）如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD=2

7

，AB=BC=3，则AC的长为

 

．
C．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线
ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐标为

 

．

Answer 1

分析：A、由题意知，k 只要大于|x+1|-|x-2|的最小值 即可，问题化为求|x+1|-|x-2|的最小值．
B、由圆的切线长定理 求得 BD 的长、及AD的长，△DBC 中，由余弦定理求出cos∠CDB 的值，△ACD中，由余弦定理求得 AC的长．
C、ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点 即 x²+y²=2y 与 x=-1  的交点（-1，1），再把交点的坐标化为极坐标．

解答：解：A、因为存在实数x使不等式|x+1|-|x-2|＜k成立，而|x+1|-|x-2|表示数轴上的x到-1的距离减去
它到2的距离，故|x+1|-|x-2|的最大值是3，最小值为-3，∴k＞-3．
B、由圆的切线长定理得 (2

7

)2=BD•（BD+3），∴BD=4，∴AD=7，
△DBC 中，由余弦定理得  3²=4²+(2

7

)2-2×4×2

7

×cos∠CDB，
∴cos∠CDB=

5 7

16

，
△ACD中，由余弦定理得 AC²=(2

7

)2+7²-2×2

7

×7cos∠CDB=

63

4

，
∴AC的长为

3 7

2

．
C、ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点 即 x²+y²=2y 与 x=-1  的交点（-1，1），
此点的极坐标为（

2

，

3π

4

 ）．
故答案为  k＞-3、

3 7

2

、（

2

，

3π

4

 ）．

点评：本题考查绝对值的意义，圆的线长定理，余弦定理得应用，普通方程与极坐标方程的互化，体现了转化的数学思想．