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 (2005年湖南理科高考题14分)

自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用xn表示某鱼群在第n年年初的总量,n∈N,且x1>0.不考虑其它因素,设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比,死亡量与xn2成正比,这些比例系数依次为正常数abc

   (1)求xn+1xn的关系式;

   (2)猜测:当且仅当x1abc满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明)

   (3)设a=2,c=1,为保证对任意x1∈(0,2),都有xn>0,n∈N,则捕捞强度b的最大允许值是多少?证明你的结论.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 解:(I)从第n年初到第n+1年初,鱼群的繁殖量为axn,被捕捞量为bxn,死亡量为

   (II)若每年年初鱼群总量保持不变,则xn恒等于x1, n∈N*,从而由(*)式得

    因为x1>0,所以a>b.

    猜测:当且仅当a>b,且时,每年年初鱼群的总量保持不变.

   (Ⅲ)若b的值使得xn>0,n∈N*

    由xn+1=xn(3-b-xn), n∈N*, 知

    0<xn<3-b, n∈N*, 特别地,有0<x1<3-b. 即0<b<3-x1.

    而x1∈(0, 2),所以    由此猜测b的最大允许值是1.

    下证 当x1∈(0, 2) ,b=1时,都有xn∈(0, 2), n∈N*

①当n=1时,结论显然成立.

②假设当n=k时结论成立,即xk∈(0, 2),

则当n=k+1时,xk+1=xk(2-xk­)>0.

又因为xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1)2+1≤1<2,

所以xk+1∈(0, 2),故当n=k+1时结论也成立.

由①、②可知,对于任意的n∈N*,都有xn∈(0,2).

综上所述,为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0, n∈N*,则捕捞强度b的最大允许值是1.

 

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