Question

已知在四面体S—ABC中，∠ASB=，∠ASC=α（0＜α＜）,∠BSC=β（0＜β＜），以SC为棱的二面角的平面角为θ.

求证：θ=π-arccos（cotα·cotβ）.

Answer 1

证明:在四面体S—ABC的棱SC上取点D，使SD=1.

过点D分别在ASC平面和BSC平面上作棱SC的垂线，交SA于E，交SB于F.连结EF.

在Rt△ESD中，ED=tanα,ES=secα.

在Rt△FSD中，FD=tanβ,FS=secβ.

在Rt△EFS中，EF²=ES²+FS²=sec²α+sec²β.

又显然∠EDF=θ,

故cosθ==-cotα·cotβ,

∴θ=arccos（-cotα·cotβ）=π-arccos（cotα·cotβ）.