Question

6．设函数f（x）=|x-a|，a∈R．
（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥6-|2x-5|；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为[-1，7]，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：$\frac{1}{s}+\frac{8}{t}≥6$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用绝对值的意义表示成分段函数形式，解不等式即可．
（2）根据不等式的解集求出a=3，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．

解答 （Ⅰ）解：当a=2时，不等式：f（x）≥6-|2x-5|，可化为|x-2|+|2x-5|≥6．
①x≥2.5时，不等式可化为x-2+2x-5≥6，∴x≥$\frac{13}{3}$；
②2≤x＜2.5，不等式可化为x-2+5-2x≥6，∴x∈∅；
③x＜2，不等式可化为2-x+5-2x≥6，∴x≤$\frac{1}{3}$，
综上所述，不等式的解集为（-$∞，\frac{1}{3}$]$∪[\frac{13}{3}，+∞）$；
（Ⅱ）证明：不等式f（x）≤4的解集为[a-4，a+4]=[-1，7]，∴a=3，
∴$\frac{1}{s}+\frac{8}{t}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{s}+\frac{8}{t}$）（2s+t）=$\frac{1}{3}$（10+$\frac{t}{s}$+$\frac{16s}{t}$）≥6，当且仅当s=$\frac{1}{2}$，t=2时取等号．

点评 本题主要考查不等式的求解和应用，根据绝对值不等式的性质转化为分段函数形式，利用1的代换转化为基本不等式是解决本题的关键．综合性较强．