Question

若函数f（x）=

a

x

-x在（0，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：若函数f（x）=

a

x

-x在（0，+∞）上是减函数，则f′（x）=

-x2-a

x2

≤0，在（0，+∞）上恒成立，即-x²-a≤0，在（0，+∞）上恒成立，结合二次函数的图象和性质，可得实数a的取值范围．

解答： 解：∵函数f（x）=

a

x

-x，
∴f′（x）=-

a

x2

-1=

-x2-a

x2

，
若函数f（x）=

a

x

-x在（0，+∞）上是减函数，
则

-x2-a

x2

≤0，在（0，+∞）上恒成立，
即-x²-a≤0，在（0，+∞）上恒成立，
即-a≤0，a≥0，
故实数a的取值范围是：a≥0，
故答案为：a≥0

点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，熟练掌握导数法分析函数单调性的方法和步骤是解答的关键．