Question

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁•k₂为定值；
（Ⅲ）M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为x²+y²=b²，
∵直线x-y+2=0与圆相切，
∴，
即，
又，
即，
a²=b²+c²，
解得，c=1，
所以椭圆方程为．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）（y₀≠0），
，，
则，即，
则，，
即，
∴k₁•k₂为定值．
（Ⅲ）设M（x，y），其中．
由已知及点P在椭圆C上可得，
整理得（3λ²-1）x²+3λ²y²=6，其中．
①当时，化简得y²=6，
所以点M的轨迹方程为，轨迹是两条平行于x轴的线段；
②当时，方程变形为，其中，
当时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足的部分；
当时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足的部分；
当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆
分析：（I）写出圆的方程，利用直线与圆相切的充要条件列出方程求出b的值，利用椭圆的离心率公式得到a，c的关系，再利用椭圆本身三个参数的关系求出a，c的值，将a，b的值代入椭圆的方程即可．
（II）设出P的坐标，将其代入椭圆的方程得到P的坐标的关系，写出A，B的坐标，利用两点连线的斜率公式求出
k₁，k₂，将P的坐标的关系代入k₁k₂化简求出其值．
（III）设出M的坐标，求出P的坐标，利用两点的距离公式将已知的几何条件用坐标表示，通过对参数λ的讨论，判断出M的轨迹．
点评：求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，利用韦达定理，找突破口．注意设直线方程时，一定要讨论直线的斜率是否存在．