[题目]已知双曲线C: 的左.右焦点分别为F1 . F2 . 点M与双曲线C的焦点不重合.点M关于F1 . F2的对称点分别为A.B.线段MN的中点在双曲线的右支上.若|AN|﹣|BN|=12.则a=( )A.3B.4C.5D.6 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1 ， F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN|﹣|BN|=12，则a=（）
A.3
B.4
C.5
D.6

【答案】A
【解析】解：设双曲线C的左右焦点分别为F1 ， F2 ，如图，连接PF1 ， PF2 ，
∵F1是MA的中点，P是MN的中点，
∴F1P是△MAN的中位线，
∴|PF1|= |AN|，
同理|PF2|= |BN|，
∴||AN|﹣|BN||=2||PF1|﹣|PF2||，
∵P在双曲线上，
根据双曲线的定义知：||PF1|﹣|PF2||=2a，
∴||AN|﹣|BN||=4a=12，∴a=3．
故选A．

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