Question

（2012•蓝山县模拟）设函数f(x)=log2(

x2+1

x

)-a在区间（0，+∞）内有零点，则实数a的取值范围是（　　）

A．（0，+∞）

B．（-∞，1]

C．[1，+∞）

D．[2，+∞）

Answer 1

分析：对于函数f(x)=log2(

x2+1

x

)-a，令t=

x2+1

x

，由基本不等式可得t的最小值为2，结合对数函数的性质，可得f（x）的最小值为1-a，由函数的零点的定义，分析可得若f（x）在区间（0，+∞）内有零点，必有1-a≤0，解可得a的范围，即可得答案．

解答：解：对于函数f(x)=log2(

x2+1

x

)-a，
令t=

x2+1

x

，则t=x+

1

x

，（x＞0）
当x＞0时，易得t≥2

x• 1 x

=2，即t有最小值2，
此时有f（x）≥log₂2-a=1-a，即f（x）在区间（0，+∞）上有最小值1-a，
若其在区间（0，+∞）内有零点，
必有1-a≤0，即a≥1；
故选C．

点评：本题考查函数的零点判定与基本不等式的应用，关键是利用对数函数的性质与基本不等式，求出函数的最小值．