Question

9．已知函数f（x）=ax²+bx（a≠0）的导函数f′（x）=-2x+7，数列{a_n}的前n项和为S_n，点P_n（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求S_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）由导数性质求出f（x）=-x²+7x，由点P_n（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上，求出${S}_{n}=-{n}^{2}+7n$，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）令a_n=-2n+8≥0，得n≤4，由此能求出S_n的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=ax²+bx（a≠0），∴f′（x）=2ax+b，
∵函数f（x）=ax²+bx（a≠0）的导函数f′（x）=-2x+7，
∴a=-1，b=7，
∴f（x）=-x²+7x，
又∵点P_n（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上，
∴${S}_{n}=-{n}^{2}+7n$，
当n=1时，a₁=S₁=6，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-2n+8，
∴a_n=-2n+8，n∈N^*．
（2）令a_n=-2n+8≥0，得n≤4，
∴当n=3或n=4时，S_n取得最大值${S}_{3}={S}_{4}=-{3}^{2}+7×3$=12．

点评 本题考查数列的通项公式和数列前n项和的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．