Question

（2010•唐山三模）A、B是双曲线

x2

3

-y²=1上两点，M为该双曲线右准线上一点，且

AM

=

MB

．
（Ⅰ）求|

OM

|的取值范围（O为坐标原点）；
（Ⅱ）求|

AB

|的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于M为该双曲线右准线上一点，故可得M（

3

2

，m），由

AM

=

MB

，知M为AB的中点，进而假设直线方程与双曲线方程联立，利用直线与双曲线有两个不同的交点，可求的参数的范围，进而可确定|

OM

|的取值范围；
（Ⅱ）利用弦长公式可得|

AB

|²=（1+k²）（x₁-x₂）²=（1+k²）=

3(k2+1) 2

k2(1-3k2

)，根据基本不等式有4k²（1-3k²）≤（

4k2+1-3k2

2

）²=

(k2+1)2

4

，从而可求|

AB

|取得最小值．

解答：解：（Ⅰ）双曲线的右准线方程为x=

3

2

，记M（

3

2

，m），并设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

AM

=

MB

，知M为AB的中点，则直线AB的斜率k存在，且k≠0，于是直线AB的方程为y=k（x-

3

2

）+m，
代入双曲线方程，并整理得（1-3k²）x²+3k（3k-2m）x-

3

4

（3k-2m）²-3=0
因为  1-3k²≠0，x₁+x₂=3，
所以-

3k(3k-2m)

1-3k2

=3，∴km=

1

2

，
△=9 k²（3k-2m）²+3（1-3k²）[（3k-2m）²-3]=

3(k2+1)(1-3k2)

k2

由△＞0，得 0＜k²＜

1

3

，所以m²＞

3

4

．
因为|

OM

|=

( 3 2 ) 2+m2

＞

3

，
故|

OM

|的取值范围为（

3

，+∞）．
（Ⅱ）|

AB

|²=（1+k²）（x₁-x₂）²=（1+k²）=

3(k2+1) 2

k2(1-3k2

)
因为4k²（1-3k²）≤（

4k2+1-3k2

2

）²=

(k2+1)2

4

所以|

AB

|²≥

48(k2+1)2

(k2+1)2

=48，当且仅当k²=

1

7

时取“=”号．
故当k=±

7

7

时，|

AB

|取得最小值4

3

．

点评：本题以双曲线为载体，考查直线与双曲线的位置关系，考查基本不等式的运用，解题的关键是将直线与双曲线方程联立，利用韦达定理求解．