Question

已知点M（2，0），P为抛物线C：y²=2px（p＞0）上一动点，若|PM|的最小值为

7

2

．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知⊙M：（x-2）²+y²=r²（r＞0），过原点O作⊙M的两条切线交抛物线于A，B两点，若直线AB与⊙M也相切．
（i）求r的值；
（ii）对于点Q（t²，t），抛物线C上总存在两个点R，S，使得△QRS三边与⊙M均相切，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）点M（2，0），P为抛物线C：y²=2px（p＞0）上一动点，设P（

y2

2p

，y），所以|PM|²=（

y2

2p

-2）²+y²=

1

4p2

y⁴+（1-

2

p

）y²+4，由此能求出抛物线C的方程．
（2）（i）由题意A（2+r，

2+r

），B（2+r，-

2+r

），知kOA=

1

2+r

，由此能求出r．
（ii）设R(t12，t1)，S(t22，t2)(t1≠t2)，则QR：y=

1

t+t1

x+

tt1

t+t1

，△QRS三边与⊙M均相切，故

|2+tt1|

1+(t+t1)2

=1，由此能求出t．

解答：解：（1）∵点M（2，0），P为抛物线C：y²=2px（p＞0）上一动点，设P（

y2

2p

，y），
∴|PM|²=（

y2

2p

-2）²+y²=

1

4p2

y⁴+（1-

2

p

）y²+4，
∴对称轴为y²=2p（2-p）．
当p≥2，|PM|_min=2，舍
当0＜p＜2，|PM|min=4p-p2=

7

4

，解得p=

1

2

或

7

2

（舍），
所以y²=x．
（2）（i）由题意A（2+r，

2+r

），B（2+r，-

2+r

），
∴kOA=

1

2+r

，
OA：y=

1

2+r

x，∴

2

r+3

=r，
∴（r-1）（r+2）²=1，
解得r=1．
（ii）设R(t12，t1)，S(t22，t2)(t1≠t2)，则QR：y=

1

t+t1

x+

tt1

t+t1

∵△QRS三边与⊙M均相切，
∴

|2+tt1|

1+(t+t1)2

=1，从而t12(1-t2)-2tt1+t2-3=0，将t₁换成t₂也成立
因为t₁≠t₂，所以t²≠1
故t₁，t₂为方程（1-t²）x²-2tx+t²-3=0的两根，
∴t1+t2=

2t

1-t2

，t1t2=

t2-3

1-t2

，
故RS：y=

1

t1+t2

x+

t1t2

t1+t2

，即y=

1-t2

2t

x+

t2-3

2t

，
圆心到RS的距离

|2(1-t2)+t2-3|

(1-t2)2+4t2

=1，
解得t=±1．
故t的取值范围是{-1，1}．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查实数值的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意点到直线的距离公式的求法．