Question

已知球O的表面上有P、A、B、C四点，且PA、PB、PC两两互相垂直，若PA=PB=PC=a，求这个球的表面积和体积.

Answer 1

解析:设过P、A、B的平面截球所得的截面圆为⊙O₁，PO₁与球面的另一交点为D.

∵PB⊥PA，

∴AB是⊙O₁的直径，且AB=.

∵PC⊥PA，PC⊥PB,

∴PC⊥平面PAB.

又OO₁⊥平面PAB,

∴OO₁∥PC.

过OO₁、PC作平面α，平面α与球面的交线为大圆O.则直线DP为平面α和平面PAB的

交线，点O₁∈PD，连结CD，在⊙O中，

∵PC⊥PD，∠CPD为直角，

∴CD为⊙O的直径.

设⊙O的半径为R，在Rt△CPD中，

CD=a，即2R=a,

∴R=a.

∴S_球=4πR²=3πa²，

V_球=πR³=πa³.