Question

2．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（x∈R，A＞0，φ＞0）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为$\frac{π}{2}$，且图象上一点为M（$\frac{2}{3}π$，-2）．
（1）求f（x）的函数解析式；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{4}$]，求f（x）的最值及相应的值；
（3）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{2}$个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，求经以上变换后得到的解析式．

Answer 1

分析 （1）由题意得A=2，由周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，可求ω，则有f（x）=2sin（2x+φ），然后将M（$\frac{2π}{3}$，-2）代入结合已知0＜φ，可求φ，从而可求函数f（x）．
（2）由x∈[0，$\frac{π}{4}$]，可求出相位角的取值范围，结合正弦函数的性质可得f（x）的最值及相应的值；
（3）根据（1）中函数的解析式，结合函数图象的平移变换法则及伸缩变换法则，可得变换后函数的解析式．

解答 解：（1）由题意得A=2，周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，得ω=2，此时f（x）=2sin（2x+φ），
将M（$\frac{2π}{3}$，-2）代入上式得-2=2sin（$\frac{4π}{3}$+φ），
即sin（$\frac{4π}{3}$+φ）=-1，解得：$\frac{4π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
由φ＞0，可取：φ=$\frac{π}{6}$，
所以f（x）的函数解析式为：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（2）因为x∈[0，$\frac{π}{4}$]，
所以，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
所以，当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{6}$时，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）取最大值2；
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，即x=0时，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）取最小值1．
（3）将函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象向左平移$\frac{π}{2}$个单位，得到函数y=2sin[2（x+$\frac{π}{2}$）+$\frac{π}{6}$]=-2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数解析式为：y=-2sin（x+$\frac{π}{6}$）．

点评 本题考查的知识点是正弦型函数解析式是求法，正弦型函数的图象和性质，正弦型函数的图象变换，是正弦型函数图象和性质的综合应用，难度中等．