Question

如图已知，椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线l与椭圆相交于A、B两点．
（Ⅰ）若∠AF₁F₂=60°，且，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若，求的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因为在焦点三角形AF₁F₂中，，所以∠F₁AF₂=90°，又因为∠AF₁F₂=60°，所以的三边关系可以找到，根据三边关系，可求出含a，c的齐次式，进而求出离心率．
（II）若，则椭圆方程为两个，可以是焦点在x轴上，也可焦点在y轴上，分别写出方程，在与设出的直线l方程联立，找到横坐标之和与之积，用坐标表示，根据前面所求，得到含k的方程，再求出最值即可．
解答：解：（I）∵，∴AF₁⊥AF₂∵∠AF₁F₂=60°，∴F₁F₂=2AF₁，------（3分）
∴2a=AF₁+AF₂，2c=F₁F₂∴------（6分）
（II）∵，∴c=1，点F₁（-1，0），F₂（1，0）．
①若AB垂直于x轴，则，------（8分）
②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，
则直线AB的方程为 y=k（x+1）
由消去y得：（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0∵△=8k²+8＞0，∴方程有两个不等的实数根．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．∴，------（10分）
∴=（1+k²）（x₁x₂+x₁+x₂+1）==-------（12分）
∵，∴
∴------（14分）
综合①、②可得：．
所以当直线l垂直于x时，取得最大值；当直线l与x轴重合时，取得最小值-1------（15分）
点评：本题考查了利用焦点三角形三边关系求椭圆方程，以及椭圆与向量相结合求最值，注意解题过程中，设而不求思想的应用．