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某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为 $数学公式$ 元．假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y元．
（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）当k=100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？

解：（1）设摩天轮上总共有n个座位，则 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
定义域 $\text{[math]}$ ；（6分）
（2）当k=100时，令 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，（10分）
当 $\text{[math]}$ 时，f′（x）＜0，即f（x）在 $\text{[math]}$ 上单调减，
当 $\text{[math]}$ 时，f′（x）＞0，即f（x）在 $\text{[math]}$ 上单调增，
y_min在 $\text{[math]}$ 时取到，此时座位个数为 $\text{[math]}$ 个．（15分）
分析：（1）由题意，总造价y中包括座位和圆心处的支点间的钢管的费用，相邻座位之间的钢管与座位的费用，故只需算出座位的个数即知钢管的个数，将两项费用表示出来，相加即得y关于x的函数关系式；
（2）将k=100米代入函数关系式求出最值即得最低的总造价．
点评：本题是常见的利用导数解决现实中造价最优的一个应用题，审题与构造函数是重点，在求最值时要根据函数的形式选择合适的方法．

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科目：高中数学 来源： 题型：

某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为[

(1024

+20)x

100

+2]k元．假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y元．
（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）当k=100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？

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科目：高中数学 来源： 题型：

某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为12k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为[

(512x2+20)x

100

+8]k元，假设座位等距离分布，且至少有四个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y元．
（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（Ⅱ）当k=100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？

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科目：高中数学 来源： 题型：

某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为K米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为12K元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为X米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为[

(512X2+20)X

100

+8]K元，假设座位等距离分布，且至少有四个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为Y元．
（Ⅰ）试写出Y关于X的函数关系式，并写出定义域；
（Ⅱ）当K=100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？

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科目：高中数学 来源：2010-2011学年湖北省高三5月模拟考试理科数学 题型：解答题

（本小题满分12分）

某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元，假设座位等距离分布，且至少有四个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为元.