Question

已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．
（1）展开式中是否有常数项？若有请求出常数项，若没有请说明理由；
（2）求展开式中所有的有理项．

Answer 1

解：依题意，前三项系数的绝对值是1，C¹_n（），C²_n（）²，
且2C¹_n•=1+C²_n（）²，
即n²-9n+8=0，∴n=8（n=1舍去），
∴展开式的第k+1项为C^k₈（）^8-k（-）^k
=（-）^kC^k₈•=（-1）^k•C^k₈•．
（1）证明：若第k+1项为常数项，
当且仅当=0，即3k=16，
∵k∈Z，∴这不可能，
∴展开式中没有常数项．
（2）若第k+1项为有理项，当且仅当为整数，
∵0≤k≤8，k∈Z，∴k=0，4，8，
即展开式中的有理项共有三项，它们是：
T₁=x⁴，T₅=x，T₉=x^-2．
分析：（1）利用二项展开式的通项公式求出前三项的系数，列出方程求出n，再利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0得到常数项，即可说明展开式中有没有常数项．
（2）令展开式中的x的指数为有理数，求出k值，再求出相应的有理项．
点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．是中档题．