Question

如图（1），矩形ABCD中，AB=2AD=2a，E为DC的中点，现将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，如图（2），F为AE的中点．

（1）求证：DF⊥平面ABCE，
（2）求四棱锥D-ABCE的体积；    
（3）求证：BE⊥AD．

Answer 1

分析：（1）利用△ADE为等腰直角三角形，F是中点，可得DF⊥AE，再根据面面垂直的性质可证DF⊥平面ABCE；
（2）由（1）知：DF为四棱锥D-ABCE的高，DF=

2

2

a，根据底面为直角梯形求出底面面积，代入棱锥的体积公式计算；
（3）在△ABE中，求出BE、AE的长，利用勾股定理可证AE⊥BE，从而证明BE⊥平面ADE，由线面垂直的性质可证BE⊥AD．

解答：解：（1）证明：∵△ADE为等腰直角三角形，F是中点，∴DF⊥AE，
∵平面ADE⊥平面ABCE，DF?平面ADE，平面ADE∩平面ABCE=AE，
∴DF⊥平面ABCE；
（2）由（1）知：DF为四棱锥D-ABCE的高，DF=

2

2

a，
根据底面为直角梯形其面积为

AB+CE

2

×BC=

2a+a

2

×a=

3

2

a²；
∴VD-ABCE=

1

3

SABCE•DF=

1

3

•

3

2

a2•

2

2

a=

2

4

a3；
（2）证明：由（1）知：DF⊥平面ABCE，BE?平面ABCE，
∴DF⊥BE，
又AE=BE=

2

a，AB=2a，
∴AE²+BE²=AB²，∴AE⊥BE，
∵AE∩DF=F，AE，DF?平面ADE，
∴BE⊥平面ADE，从而有BE⊥AD．

点评：本题考查了线面垂直的判定与性质，考查了棱锥的体积公式，考查了学生的推理论证能力，属于中档题．