Question

设偶函数y=f（x）和奇函数y=g（x）的图象如图所示：集合A={x|f（g（x）-t）=0}与集合B={x|g（f（x）-t）=0}的元素个数分别为a，b，若

1

2

＜t＜1，则a+b的值不可能是（　　）

A．12

B．13

C．14

D．15

Answer 1

分析：利用图象，分别判断g（x）=t和f（x）=t，在

1

2

＜t＜1时的取值情况，然后进行讨论即可．

解答：解：由条件知，第一个图象为f（x）的图象，第二个为g（x）的图象．
由图象可知若f（x）=0，则x有3个解，为x=-

3

2

，x=0，x=

3

2

，若g（x）=0，则x有3个解，不妨设为x=n，x=0，x=-n，（0＜n＜1）
由f（g（x）-t）=0得g（x）-t=

3

2

，或g（x）-t=0，或g（x）-t=-

3

2

，．
即g（x）=t+

3

2

，或g（x）=t，或g（x）=t-

3

2

．
当

1

2

＜t＜1时，由g（x）=t，得x有3个解．
g（x）=t-

3

2

∈(-1，-

1

2

)，此时x有3个解．
g（x）=t+

3

2

∈(2，

5

2

)，此时方程无解．所以a=3+3=6．
由g（f（x）-t）=0得f（x）-t=n，或f（x）-t=0或f（x）-t=-n．
即f（x）=t+n，或f（x）=t，或f（x）=t-n．
若f（x）=t，因为

1

2

＜t＜1，所以此时x有4个解．
若f（x）=t+n，因为

1

2

＜t＜1，0＜n＜1，所以若0＜n＜

1

2

，则

1

2

＜t+n＜

3

2

，此时x有4个解或2解或0个解．
对应f（x）=t-n∈（0，1）有4个解，此时b=4+4+4=12或b=4+2+4=10或b=4+0+4=8．
若

1

2

≤n＜1，则1＜t+n＜2，此时x无解．对应f（x）=t-n∈（-

1

2

，

1

2

），对应的有2个解或3解或4个解．
所以此时b=4+2=6或b=4+3=7或b=4+4=8．
综上b=12或10或8或6或7．
所以a+b=18或16或14或13或12．
故D不可能．
故选D．

点评：本题主要考查复合函数的根的取值问题，利用数学结合思想是解决本题的关键，根据参数的不同取值要进行分类讨论，综合性较强，难度较大．