Question

（文科）已知函数．
（1）求函数f（x）的最大值与单调递增区间；
（2）求使f（x）≥3成立的x的集合．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2+2sin（2x-），由此求得它的最大值，由 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，解开得到函数的增区间．
（2）由f（x）≥3可得，sin（2x-）≥，故 2kπ+≥2x-≥2kπ+，k∈z，由此求得不等式的解集．
解答：解：（1）∵函数f（x）==1+2sin²x+sin2x=1+1-cos2x+sin2x
=2+2（-）=2+2sin（2x-）．
故当 sin（2x-）=1时，函数f（x）取得最大值为4．
 令 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，求得  kπ-≤x≤kπ+，
故函数的增区间为[kπ-≤xkπ+]，k∈z．
（2）由f（x）≥3可得，sin（2x-）≥，
∴2kπ+≥2x-≥2kπ+，k∈z．
解得kπ+≤x≤kπ+，
故使f（x）≥3成立的x的集合为{x|kπ+≤x≤kπ+，k∈z }．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性，属于中档题．