Question

设f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，若函数f（x）+g（x）的值域为[-1，4），则f（x）-g（x）的值域为

 

．

Answer 1

分析：根据奇偶函数的定义得到f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），由两函数的定义域都为R，根据f（x）+g（x）的值域列出不等式，把x换为-x，代换后即可求出f（x）-g（x）的范围，即为所求的值域．

解答：解：由f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，
得到f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
∵函数f（x）+g（x）的值域为[-1，4），
∴-1≤f（x）+g（x）＜4，且f（x）和g（x）的定义域都为R，
把x换为-x得：-1≤f（-x）+g（-x）＜4，
变形得：-1≤-f（x）+g（x）＜4，
即-4＜f（x）-g（x）≤1，
则f（x）-g（x）的值域为（-4，1]．
故答案为：（-4，1]

点评：本题主要考查了函数的值域，以及函数的奇偶性的意义．熟练掌握函数奇偶性的意义是解本题的关键．