Question

（2012•蓝山县模拟）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠C=45°，AB=2，AD=1，E是AB中点，F是DC上的点，且EF∥AD，现以EF为折痕将四边形AEFD向上折起，使平面AEFD垂直平面EBCF，连AC，DC，BA，BD，BF，

（1）求证：CB⊥平面DFB；
（2）求二面角B-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以F为坐标原点，射线FE为x轴的正半轴，射线FC为y轴的正半轴，射线FD为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系F-xyz．利用向量法能够证明CB⊥平面DFB．
（2）求出平面CAD的法向量

n

=(0，-1，-2)，求出平面CAB的法向量

m

=（1，1，1），由此能求出二面角B-AC-D的余弦值．

解答：（本小题满分12分）
解：（1）在直角梯形ABCD中过B作BM⊥DC于M，
因∠C=45°，AB=2，AD=1，
所以MC=1，FC=2．
又因为所以折叠后平面AEFD⊥平面EBCF，且DF⊥EF，
所以DF⊥平面EBCF，…（2分）
如图，以F为坐标原点，射线FE为x轴的正半轴，射线FC为y轴的正半轴，射线FD为z轴的正半轴，
建立空间直角坐标系F-xyz．
依题意有A（1，0，1）B（1，1，0），D（0，0，1），C（0，2，0）．
则

FB

=(1，1，0)，

FD

=(0，0，1)，

CB

=(1，-1，0)．
所以

CB

•

FB

=0，

CB

•

FD

=0．…（4分）
即CB⊥FB，CB⊥FD．又FB∩FD=F，FB、FD?平面DFB
故CB⊥平面DFB．…（6分）
（2）依题意有

DA

=(1，0，0)，

AC

=(-1，2，-1)．
设

n

=(x，y，z)是平面CAD的法向量，
则

n • DA =0 n • AC =0

即

x=0 -x+2y-z=0.

因此可取 

n

=(0，-1，-2)．…（8分）
同理设

m

m是平面CAB的法向量，则

m • AC =0 m• CB =0.

可取

m

=(1，1，1)．所以cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

-

15

5

．…（11分）
故二面角B-AC-D的余弦值为-

15

5

．…（12分）
用其它解法参照给分

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．