Question

已知f（x）=3x²-5x-11．
①求二次函数的顶点坐标，对称轴方程；
②证明x∈[1，+∞）时，f（x）单调递增；

Answer 1

分析：①利用配方法将函数解析式变形，求出顶点坐标和对称轴方程；
②根据定义法证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形、判断符号和下结论，变形时利用平方差公式．

解答：解：①f（x）=3x²-5x-11=3(x-

5

6

)2-3×

25

36

-11=3(x-

5

6

)2-

157

12

，
则二次函数的顶点坐标（

5

6

，-

157

12

），对称轴方程是x=

5

6

．
证明：②设x₁＞x₂≥1，
则f（x₁）-f（x₂）=3x₁²-5x₁-11-（3x₂²-5x₂-11）=3（x₁²-x₂²）-5（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）[3（x₁+x₂）-5]
∵x₁＞x₂≥1，∴x₁-x₂＞0，x₁+x₂＞2，则3（x₁+x₂）-5＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴当x∈[1，+∞）时，f（x）单调递增．

点评：本题的考点是二次函数的性质，一般利用配方法对函数解析式进行变形，只要证明函数的单调性必须用定义法证明．