Question

对定义域是D_f．D_g的函数y=f（x）．y=g（x），
规定：函数h（x）=

f(x)g(x)，当x∈Df且x∈Dg f(x)，当x∈Df且x∉Dg g(x)，当x∉Df且x∈Dg

．
（1）若函数f（x）=

1

x-1

，g（x）=x²，写出函数h（x）的解析式；
（2）求问题（1）中函数h（x）的值域；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明．

Answer 1

分析：（1）将f（x）=

1

x-1

，g（x）=）=x²，代入h（x）=

f(x)g(x)，当x∈Df且x∈Dg f(x)，当x∈Df且x∉Dg g(x)，当x∉Df且x∈Dg

（2）利用双勾函数的性质求得；（3）令f（x）=sin2x+cos2x，α=

π

4

解答：解：（1）h（x）=

x2 x-1 ，x∈(-∝，1)∪(1，+∞) 1，x=1

，．
（2）当x≠1时，h（x）=

x2

x-1

=x-1+

1

x-1

+2，
若x＞1时，则h（x）≥4，其中等号当x=2时成立
若x＜1时，则h（x）≤0，其中等号当x=0时成立
∴函数h（x）的值域是（-∞，0]∪{1}∪[4，+∞）
（3）令f（x）=sin2x+cos2x，α=

π

4

则g（x）=f（x+α）=sin2（x+

π

4

）+cos2（x+

π

4

）=cos2x-sin2x，
于是h（x）=f（x）•f（x+α）=（sin2x+cos2x）（cos2x-sin2x）=cos4x．
另解令f（x）=1+

2

sin2x，α=

π

2

，
g（x）=f（x+α）=1+

2

sin2（x+π）=1-

2

sin2x，
于是h（x）=f（x）•f（x+α）=（1+

2

sin2x）（1-

2

sin2x）=cos4x．

点评：本题主要考查求函数解析式和求最值以及构造函数等问题．