Question

曲线C是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的右支，已知它的右准线方程为l：x=

1

2

，一条渐近线方程是y=

3

x，线段PQ是过曲线C右焦点F的一条弦，R是弦PQ的中点．
（1）求曲线C的方程；
（2）当点P在曲线C上运动时，求点R到y轴距离的最小值；
（3）若在直线l的左侧能作出直线m：x=a，使点R在直线m上的射影S满足

PS

•

QS

=0．当点P在曲线C上运动时，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由渐近线方程可设双曲线C的方程为：

x2

λ

-

y2

3λ

=1（x≥

λ

），λ＞0然后根据准线方程可求λ，即可求解
（2）由（1）知F，设处出弦PQ的方程y=k（x-2），代入双曲线方程，根据方程的根与系数关系可求k的范围，然后根据点R到y轴距离及所求k的范围即可求解；当弦PQ的斜率不存在时，点R到y轴距离容易求解
（3）由

PS

•

QS

=0，可知△PSR为直角三角形，可求R到直线m的距离，结合双曲线的焦半径公式可得x_R与a之间的关系，结合|x_R|≥2，a≤

1

2

可求

解答：解：（1）设双曲线C的方程为：

x2

λ

-

y2

3λ

=1（x≥

λ

），λ＞0
则它的右准线方程为x=

λ

2 λ

=

λ

2

由已知可得，

λ

=1
∴λ=1
故所求双曲线方程为x2-

y2

3

=1（x≥1）
（2）由（1）知，曲线C的右焦点F（2，0）
若弦PQ的斜率存在，则弦PQ的方程y=k（x-2），代入双曲线方程可得
（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
则

△=16k4+4(3-k2)(3+4k2)＞0 x1+x2=- 4k2 3-k2 ＞0 x1x2= -(3+4k2) 3-k2 ＞0

解得：k²＞3，
点R到y轴距离：|xR|=|

x1+x2

2

|=

2k2

k2-3

=2+

6

k2-3

＞2
而当弦PQ的斜率不存在时，点R到y轴距离|x_R|=2．
所以点R到y轴距离的最小值为2．…8′
（3）∵点R在直线m上的射影S满足

PS

•

QS

=0，

∴PS⊥QS，即△PSQ是直角三角形， ∴R到直线m：x=a(a≤ 1 2 )的距离|RS|= |PQ| 2 =xR-a

…①
∵

PF

x1- 1 2

=

QF

x2- 1 2

∴PQ=PF+QF=2（x₁+x₂-1）=4x_R-2②
②代入①可得2x_R-1=x_R-a
∴x_R=1-a
∵|x_R|≥2，a≤

1

2

∴a≤-1

点评：本题主要考查了由双曲线的性质求解双曲线方程，直线与双曲线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用是求解直线与曲线相交关系常用的方法