为了适应新课改的要求.某重点高中在高一500名新生中开设选修课．其中某老师开设的选修课.在选课时设第n次选修人数为an个.且第n次选课时.选的同学人数比第n-1次选修人数的一半还多15人．(1)当a1≠30时.写出数列{an}的一个递推公式.并证明数列{an-30}是一个等比数列,(2)求出用a1和n表示的数列{an}的通项公式．如果选� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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为了适应新课改的要求，某重点高中在高一500名新生中开设选修课．其中某老师开设的《趣味数学》选修课，在选课时设第n次选修人数为a_n个，且第n（n≥2）次选课时，选《趣味数学》的同学人数比第n-1次选修人数的一半还多15人．
（1）当a₁≠30时，写出数列{a_n}的一个递推公式，并证明数列{a_n-30}是一个等比数列；
（2）求出用a₁和n表示的数列{a_n}的通项公式．如果选《趣味数学》的学生越来越多，求a₁的取值范围．

分析：（1）由题意，an=

an-1+15（其中n≥2），即an-30=

(an-1-30)；由a₁≠30，得a₁-30≠0，知{a_n-30}是等比数列；
（2）由（1）得an-30=(a1-30)•(

)n-1，即an=30+(a1-30)•(

)n-1，可得a_n-a_n-1＞0，从而得a₁的取值范围．

解答：解：（1）依题意，有an=

an-1+15，（其中n≥2）；
∴an-30=

(an-1-30)，
又a₁≠30，即a₁-30≠0，
故{a_n-30}是一个以（a₁-30）为首项，

为公比的等比数列．
（2）由（1）得：an-30=(a1-30)•(

)n-1；
∴an=30+(a1-30)•(

)n-1，
又an-an-1=(a1-30)[(

)n-1-(

)n-2]=(30-a1)•(

)n-1＞0．
∴a₁的取值范围是：0≤a₁＜30．

点评：本题考查了等比数列的定义和递推数列的综合应用，解题时要认真分析，以免出错．

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