Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosB-bcosA=

1

2

c．
（Ⅰ）求证tanA=3tanB；
（Ⅱ）若B=45°，b=

5

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,同角三角函数基本关系的运用

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）题中等式利用正弦定理化简，利用同角三角函数间基本关系整理即可得证；
（Ⅱ）由tanB的值确定出tanA的值，进而求出sinA与cosA的值，由sinC=sin（A+B），利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入求出sinC的值，利用正弦定理求出c的值，由b，c，sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（Ⅰ）∵acosB-bcosA=

1

2

c，
∴由正弦定理化简得：sinAcosB-sinBcosA=

1

2

sinC=

1

2

sin（A+B）=

1

2

sinAcosB+

1

2

cosAsinB，
整理得：sinAcosB=3cosAsinB，
∵cosAcosB≠0，
∴tanA=3tanB；
（Ⅱ）∵tanA=3，∴sinA=

3 10

10

，cosA=

10

10

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：a=

bsinA

sinB

=

5 × 3 10 10

2 2

=3，
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

3 10

10

×

2

2

+

10

10

×

2

2

=

2 5

5

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×3×

5

×

2 5

5

=3．

点评：此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．