Question

17．已知x，y∈R^*，2y+x-xy=0，若x+2y＞m²+2m恒成立，则m的取值范围是（-4，2）．

Answer 1

分析 方程成立为2y+x=xy，同时除以xy得$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$=1，利用均值定理的变形可得$\frac{2}{x}$•$\frac{1}{y}$≤$（\frac{\frac{2}{x}+\frac{1}{y}}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，得出xy≥8（当x=2y时，等号成立），再次利用均值定理求出x+2y的最小值，进而得出m的范围．

解答 解：2y+x-xy=0，
∴2y+x=xy，
∴$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$=1，
∵$\frac{2}{x}$•$\frac{1}{y}$≤$（\frac{\frac{2}{x}+\frac{1}{y}}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴xy≥8（当x=2y时，等号成立），
∵x+2y≥2$\sqrt{2xy}$≥8（当x=2y时，等号成立），
∴m²+2m＜8，解得-4＜m＜2．
故答案为为（-4，2）．

点评 考查了均值定理的应用和恒成立问题的转换．应注意均值定理中等号成立的条件．