Question

已知函数f（x），当x＜0时，f（x）=x²+2x-1
（1）若f（x）为R上的奇函数，则函数在R上的解析式为？
（2）若f（x）为R上的偶函数，则函数在R上的解析式为？

Answer 1

分析：（1）由题意设x＞0利用已知的解析式求出f（-x）=x²-2x-1，再由f（x）=-f（-x），求出x＞0时的解析式，又因f（0）=0，最后用分段函数表示出f（x）的解析式；
（2）由题意设x＞0利用已知的解析式求出f（-x）=x²-2x-1，再由f（x）=f（-x），求出x＞0时的解析式，又因f（0）=f（-0）可放在任何一个范围内，最后用分段函数表示出f（x）的解析式；

解答：解：（1）设x＞0，则-x＜0；
∵当x＜0时，f（x）=x²+2x-1，∴f（-x）=x²-2x-1，
∴f（x）为R上的奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-x²+2x+1，
∴函数在R上的解析式f（x）=

-x2+2x+1，x＞0 0，x=0 x2+2x-1，x＜0

；
（2）设x＞0，则-x＜0；
∵当x＜0时，f（x）=x²+2x-1，∴f（-x）=x²-2x-1，
∴f（x）为R上的偶函数，∴f（x）=f（-x）=x²-2x-1，
且f（0）=f（-0）=-1，
∴函数在R上的解析式f（x）=

x2-2x-1，x≥0 x2+2x-1，x＜0

．

点评：本题的考点是利用函数的奇偶性求函数的解析式，利用f（x）和f（-x）的关系，把x的范围转化到已知的范围内求对应的解析式，注意两点：f（0）的情况，要用分段函数表示．