Question

(2007北京宣武模拟)已知函数f(x)=[x[x]](xR)，其中[x]表示不超过x的最大整数．

如[－2.1]=－3，[－3]=－3，[2.5]=2．

(1)判断f(x)的奇偶性；

(2)若x[－2，3]，求f(x)的值域；

(3)若，f(x)的值域为，现将中的元素的个数记为，试求与的关系，并进一步求出的表达式．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)∵， ， ∴，， 故f(x)为非奇非偶函数． (2)当－2≤x＜－1时，[x]=－2，则2＜x[x]≤4，∴f(x)可取2，3，4； 当－1≤x＜0时，[x]=－1，则0＜x[x]≤1，∴f(x)可取0，1； 当0≤x＜1时，[x]=0，则x[x]=0，∴f(x)=0； 当1≤x＜2时，[x]=1，则1≤x[x]＜2，∴f(x)=1； 当2≤x＜3时，[x]=2，则4≤x[x]＜6，∴f(x)可取4，5； 又f(3)=[3[3]]=9，故所求f(x)值域为{0，1，2，3，4，5，9}． (3)当n＜x＜n＋1时，[x]=n，则， 故f(x)可取，，，…，，当x=n＋1时，，又当时，显然有． 因此，可得到，又由(2)知，， ∴ ．