Question

已知{b_n}是公比大于1的等比数列，b₁，b₃是函数f（x）=x²-5x+4的两个零点．
（I）求数列{b_n}的通项公式；
（II）若数列{a_n}满足a_n=log₂b_n+n+2，且a₁+a₂+a₃+…+a_m≤63，求m的最大值．

Answer 1

分析：（I）由已知中{b_n}是公比大于1的等比数列，b₁，b₃是函数f（x）=x²-5x+4的两个零点，我们易求出数列{b_n}的首项及公比，进而得到数列{b_n}的通项公式；
（II）由（I）的结论及数列{a_n}满足a_n=log₂b_n+n+2，我们易求出数列{a_n}的通项公式，进而求出a₁+a₂+a₃+…+a_m的表达式，由此可以构造一个关于m的不等式，解不等式即可得到m的最大值．

解答：解：（I）因为b₁，b₃是函数f（x）=x²-5x+4的两个零点，
所以b₁，b₃是方程x²-5x+4=0的两根，故有

b1b3=4 b1+b3=5

．
因为公比大于1，所以b₁=1，b₃=4，则b₂=2．…．（3分）
所以，等比数列{b_n}的公比为

b2

b1

=2，b_n=b₁q^n-1=2^n-1．…（6分）
（II）a_n=log₂b_n+n+2=log₂2^n-1+n+2=2n+1．
所以，数列{a_n}是首项为3，公差为2的等差数列．…．（9分）
故有a1+a2+a3+…+am=3m+

1

2

m(m-1)•2=m2+2m≤63．
即m²+2m-63≤0．
解得-9≤m≤7．所以m的最大值是7．…．（12分）

点评：本题考查的知识点是等比数列的通项公式，等差数列的通项公式及前n项和的公式，其中（I）的关键是求出数列{b_n}的首项及公比，（II）的关键将a₁+a₂+a₃+…+a_m≤63，转化为一个关于m的不等式．