Question

有一个底面半径和高都是R的圆锥形密闭容器，容器中装有一些水．如果底朝下（且水平）时水的高度为1/2R，那么当底面朝上（且水平）时容器中水的高度为多少？

Answer 1

解：如图，设圆锥的顶点为S，它在底面上的射影是O，底朝下（且水平）时水面的圆心为Q，底面朝上（且水平）时水面的圆心为A．则
V_SO=πR²×R=πR³
∴V_QO=πR³-π（）³=πR³
又V_SA=πh²×h=πh³
由V_SQ=V_OA=πR³
∴h=R．
那么当底面朝上（且水平）时容器中水的高度为R．
分析：如图，设圆锥的顶点为S，它在底面上的射影是O，底朝下（且水平）时水面的圆心为Q，底面朝上（且水平）时水面的圆心为A．利用体积之差求出V_QO，又V_SA=πh²×h=πh³由V_SQ=V_OA=πR³即可求得当底面朝上（且水平）时容器中水的高度．
点评：本小题主要考查旋转体（圆柱、圆锥、圆台）、组合几何体的面积、体积问题等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．