Question

1．设a，b，c∈R⁺，且ab+bc+ca=108，则$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}$的最小值是18．

Answer 1

分析 $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}$=$\frac{（ab）^{2}+（bc）^{2}+（ca）^{2}}{abc}$≥$\frac{a{b}^{2}c+{a}^{2}bc+ab{c}^{2}}{abc}$=a+b+c，再证明a+b+c≥18，即可求出$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}$的最小值．

解答 解：$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}$=$\frac{（ab）^{2}+（bc）^{2}+（ca）^{2}}{abc}$≥$\frac{a{b}^{2}c+{a}^{2}bc+ab{c}^{2}}{abc}$=a+b+c，
∵（a+b+c）²≥3（ab+bc+ca）=324，
∴a+b+c≥18，
∴$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}$≥18，
∴$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}$的最小值是18．
故答案为：18．

点评 本题考查$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}$的最小值，考查基本不等式的运用，属于中档题．