Question

已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）圆x²+y²=1的一条切线l与椭圆C相交于A，B两点，问是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由，得a²=4c²，再由c²=a²-b²，解得a=b①．
由连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为，可知2ab=4②．
①②可得a=2，b=．
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）假设存在直线l满足条件
①当直线l的斜率不存在时，则方程为x=±1
当方程为x=1时，直线l与椭圆的交点为A（1，），B（1，-），则
同理方程为x=1时，也不成立；
②斜率存在时，假设方程为y=kx+m，由直线与圆相切可得m²=1+k²，
直线方程代入椭圆方程，消去y，可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-，x₁x₂=
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=
∴=x₁x₂+y₁y₂=+=＜0
综上所述，直线l不存在．
分析：（Ⅰ）由，得a²=4c²，再由c²=a²-b²，解得a=b，利用连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）假设存在直线l满足条件
①当直线l的斜率不存在时，则方程为x=±1，可得不成立；
②斜率存在时，假设方程为y=kx+m，由直线与圆相切可得m²=1+k²，直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量的数量积运算，即可得到结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆，直线与椭圆的位置关系，考查向量的数量积运算，属于中档题．