Question

设F是椭圆

x2

11

+

y2

15

=1的一个焦点，椭圆上至少有21个点P₁，P₂，P₃，…，P₂₁，使得数列{P_iF}（i=1，2，…，21）成公差为d的等差数列，则d的一个可取值是（　　）

• A．

  1

  2

• B．-

  1

  3

• C．

  1

  4

• D．-

  1

  5

Answer 1

分析：根据椭圆的几何性质，可得a-c≤P_iF≤a+c，因此根据椭圆的基本量算出数列{P_iF}的公差d满足：|P₂₁F-P₁F|≤2c=4，解出d∈[-

1

5

，

1

5

]，再对照各个选项即得本题答案．

解答：解：∵椭圆

x2

11

+

y2

15

=1中，a=

15

，b=

11

∴设椭圆的右焦点为F（c，0），可得c=

a2-b2

=2
∵P_i（i=1，2，…，21）是椭圆上的点
∴a-c≤P_iF≤a+c，即

15

+2≤P_iF≤

15

+2
∵数列{P_iF}（i=1，2，…，21）成公差为d的等差数列，
∴公差d满足：|P₂₁F-P₁F|≤2c=4，即-4≤20d≤4，
解之得d∈[-

1

5

，

1

5

]，再对照各个选项，可得只有D项在此范围内
故选：D

点评：本题给出椭圆的21条焦半径成等差数列，求公差d的可能值．着重考查了等差数列的性质和椭圆的标准方程、简单几何性质等知识，属于中档．