Question

已知a，b∈（0，2]，函数f(x)=

∫

x  1

(asint-2bcost)dt在[

π

4

 ， 

π

3

]上为增函数的概率是（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  1

  2

• C．

  3

  4

• D．1

Answer 1

分析：先积分求出f（x）的表达式，再由f（x）在[

π

4

 ， 

π

3

]上为增函数，导数在区间[

π

4

 ， 

π

3

]上大于等于0恒成立．求出满足a，b的关系式，最后把a看成横轴，b看成纵轴，a，b在一象限围成边长为2的正方形的面积为总的基本事件，a，b关系式与正方形围成的面积为满足条件的基本事件，用面积之比求出概率．

解答：解：∵f(x)=

(-acost-2bsint) |

x 1

=(-acosx-2bsinx)-(-acos1-2bsin1)，
∴f'（x）=asinx-2bcosx．
若f^′（x）≥0在区间[

π

4

 ， 

π

3

]上恒成立，则函数f（x）在区间[

π

4

，

π

3

]是增函数．
∵sinx，cosx在区间[

π

4

 ， 

π

3

]上均大于0，
∴asinx≥2bcosx，

sinx

cosx

≥

2b

a

，即

2b

a

≤tanx．
∴f^′（x）≥0在区间[

π

4

 ， 

π

3

]上恒成立?[tanx]min＞

2b

a

，x∈[

π

4

，

π

3

]．
∵tanx在[

π

4

 ， 

π

3

]上的最小值为tan

π

4

=1，∴

2b

a

≤1，b≤

1

2

a．
如图所示：函数f（x）在区间[

π

4

，

π

3

]上为增函数的概率为P=

1 2 ×2×1

2×2

=

1

4

．
故选A．

点评：由已知正确求出a、b满足的关系式是解题的关键．另外转化思想是解此类问题常用方法之一．