Question

如图，O是△ABC内的一点，∠AOB=150°，∠AOC=120°，向量

OA

，

OB

，

OC

的模分别为2、1、3．
（1）求|

OA

+

OB

+

OC

|；
（2）若

OC

=m

OA

+n

OB

，求实数m，n的值．

Answer 1

分析：（1）求向量的模，先平方再开方，利用向量的数量积运算，可得结论；
（2）

OA′

=m

OA

，

OB′

=n

OB

，由向量加法及数乘向量的几何意义m＜0，n＜0，且∠COB′=90°，∠CB′D=30°，从而可建立方程，即可求实数m，n的值．

解答：解：（1）∵∠AOB=150°，∠AOC=120°，向量

OA

，

OB

，

OC

的模分别为2、1、3．
∴

OA

•

OB

=-

3

，

OA

•

OC

=-3，

OC

•

OB

=0
∴|

OA

+

OB

+

OC

|2=

OA

2+

OB

2+

OC

2+2（

OA

•

OB

+

OA

•

OC

+

OC

•

OB

）=8-2

3

∴|

OA

+

OB

+

OC

|=

8-2 3

；
（2）

OA′

=m

OA

，

OB′

=n

OB

，由向量加法及数乘向量的几何意义m＜0，n＜0，且∠COB′=90°，∠CB′D=30°
∴|

B′C

|2=|

OC′

|2+|

OB′

|2，且2|

OC

|=|

OA′

|
∴4m²=n²+9，且6=2|m|
∴m=-3，n=-3

3

．

点评：本题考查向量知识的运用，考查向量的模，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．