Question

设关于x的一元二次方程ax²+x+1=0（a＞0）有两个实根x₁，x₂．
（1）求（1+x₁）（1+x₂）的值；
（2）求证：x₁＜-1，且x₂＜-1；
（3）如果

x1

x2

∈[

1

10

，10]，试求a的最大值．

Answer 1

分析：（1）把（1+x₁）（1+x₂）展开，再利用根与系数的关系即可得出；
（2）令f（x）=ax²+x+1，由△=1-4a≥0得0＜2a≤

1

2

，可得抛物线f（x）的对称轴x=-

1

2a

≤-2＜-1．又f（-1）=a＞0，可知f（x）图象与x轴的交点都在点（-1，0）的左侧，即可得出．
（3）由（1）可得，x1=

1

1+x2

-1=-

x2

1+x2

．于是

x1

x2

=-

1

1+x2

∈[

1

10

，10]，所以-

1

x2

∈[

1

11

，

10

11

]．进而得到a=

1

x1x2

=-

1+x2

x   2 2

=-[(-

1

x2

)-

1

2

]2+

1

4

，利用二次函数的性质即可得出．

解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程ax²+x+1=0（a＞0）有两个实根x₁，x₂．
∴x1+x2=-

1

a

，x1x2=

1

a

．
∴(1+x1)(1+x2)=1+(x1+x2)+x1x2=1-

1

a

+

1

a

=1．
（2）令f（x）=ax²+x+1，由△=1-4a≥0得0＜2a≤

1

2

，
∴抛物线f（x）的对称轴x=-

1

2a

≤-2＜-1．
又f（-1）=a＞0，所以f（x）的图象与x轴的交点都在点（-1，0）的左侧，
故x₁＜-1，且x₂＜-1．
（3）由（1），x1=

1

1+x2

-1=-

x2

1+x2

．

x1

x2

=-

1

1+x2

∈[

1

10

，10]，所以-

1

x2

∈[

1

11

，

10

11

]．
∴a=

1

x1x2

=-

1+x2

x   2 2

=-[(-

1

x2

)-

1

2

]2+

1

4

，
故当-

1

x2

=

1

2

时，a取得最大值为

1

4

．

点评：熟练掌握二次函数的性质、一元二次方程根与系数的关系等是解题的关键．