Question

已知边长为a的菱形ABCD，∠A=

π

3

，将菱形ABCD沿对角线折成二面角θ，已知θ∈[

π

3

，

2π

3

]，则两对角线距离的最大值是（　　）

• A、

  3

  2

  a
• B、

  3

  4

  a
• C、

  3

  2

  a
• D、

  3

  4

  a

Answer 1

分析：本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离计算，由处理空间问题的一般思路，我们要将空间问题转化为平面问题，由于本题中是将菱形ABCD沿对角线折成二面角，根据菱形对角线互相垂直的性质，我们易将二面角问题转化为平面角，进而求解．

解答：解：设菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，
则由已知菱形ABCD边长的为a，∠A=

π

3

，
我们可得OA=OC=

3

2

a
又∵菱形的对角线互相垂直，
故∠AOC即为菱形ABCD沿对角线折成二面角
∴∠AOC=θ
则两对角线距离d=cos

θ

2

•

3

2

a
又∵θ∈[

π

3

，

2π

3

]
∴当θ=

2π

3

时
d有最大值

3

4

a
故选D

点评：遇到二面角的问题，一般先作出二面角的平面角．我们可以利用二面角的平面角的定义作出∠AOC为二面角A-BD-C的平面角，通过解∠AOC所在的三角形求得两条异面直线之间的距离．