Question

设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记.（1）（1）求数列与数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由．

（3）记，设数列的前项和为，求证：对于都有

 

Answer 1

(1)；(2)不存在，见解析；（3）见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据题中给的an=5Sn+1，继而可得an-1=5sn-1+1，两式子相减得，an-an-1=5an，因此,因而可得出an，bn的通项公式;（2）根据bn的通项公式，算出的前n项和为Rn，再计算出是否存在正整数k;（3）根据bn的通项公式，计算出cn的通项公式，再比较Tn与的大小.

（1）当时，,又,

,∴数列是首项为，公比为的等比数列，

∴，（2）不存在正整数，使得成立。证明：由（1）知

∴当n为偶数时，设 ,∴

当n为奇数时，设

∴

∴对于一切的正整数n，都有,∴不存在正整数，使得成立;（3）由得

又， 当时，，当时，

考点：数列递推式；数列的应用；数列的求和