Question

设数列a_n的前n项的和为S_n，a₁=1，2S_n=（n+1）a_n+1-1
（1）求数列a_n的通项公式；
（3）求证：数列{2

2Sn

n

}是等比数列；
（3）设数列b_n是等比数列且b₁=2，a₁，a₃，b₂成等比数列，T_m为b_n的前m项的和，Pm=(

4Sm

m

-3)•2m-1-1，试比较T_m与P_m的大小，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）当n≥2时，2a_n=2S_n-2S_n-1=（n+1）a_n+1-1-（na_n-1），即

an+1

an

=

n+2

n+1

，而当n=1时，2S₁=2a₂-1，an=

an

an-1

•

an-1

an-2

••

a3

a2

•a2=

n+1

n

•

n

n-1

••

4

3

•

3

2

=

n+1

2

，当n=1时，a₁=1符合上式，故an=

n+1

2

．
（2）由an+1=

n+2

2

，知2Sn=(n+1)an+1-1=

(n+1)(n+2)

2

-1，2Sn=

n2+3n

2

，

2Sn

n

=

n+3

2

，

2Sn

n

-

2Sn-1

n-1

=

n+3

2

-

n+2

2

=

1

2

，由此能够证明{2

2Sn

n

}是以2为首项

2

为公比的等比数列．
（3）由a₃=2，a₁，a₃，b₂成等比数列，知b₂=4，

b2

b1

=2Tm=

2(1-2m)

1-2

=2m+1-2，由此入手能够得到当1≤m≤3且n∈N^*时，P_m＜T_m，当m≥4且n∈N^*时，P_m＞T_m．

解答：解：（1）当n≥2时，2a_n=2S_n-2S_n-1=（n+1）a_n+1-1-（na_n-1）
即（n+1）a_n+1=（n+2）a_n即

an+1

an

=

n+2

n+1

（2分）
而当n=1时，2S₁=2a₂-1，
∴a2=

2a1+1

2

=

3

2

，（3分）
∴an=

an

an-1

•

an-1

an-2

••

a3

a2

•a2=

n+1

n

•

n

n-1

••

4

3

•

3

2

=

n+1

2

而当n=1时，a₁=1符合上式，综上an=

n+1

2

（4分）
（2）证明：由（1）an+1=

n+2

2

，
∴2Sn=(n+1)an+1-1=

(n+1)(n+2)

2

-1
∴2Sn=

n2+3n

2

（6分）
∴

2Sn

n

=

n+3

2

∴

2Sn

n

-

2Sn-1

n-1

=

n+3

2

-

n+2

2

=

1

2

∴当n≥2时

2 2Sn n

2 2Sn-1 n-1

=2

1

2

=

2

∴{2

2Sn

n

}是以2为首项

2

为公比的等比数列..（8分）
（3）由（1）a₃=2
∵a₁，a₃，b₂成等比数列∴a₁b₂=a₃²
∴b₂=4
∴

b2

b1

=2Tm=

2(1-2m)

1-2

=2m+1-2（9分）
而由（2）

2Sn

n

=2+(n-1)•

1

2

=

1

2

n+

3

2

∴Pm=(

4Sm

m

-3)•2m-1-1=[2(

1

2

m+

3

2

)-3]•2m-1-1=m•2m-1-1．（10分）
∴P_m-T_m=m•2^m-1-1-（2^m+1-2）=（m-4）•2^m-1+1
当1≤m≤3且n∈N^*时，P_m＜T_m
当m≥4且n∈N^*时，P_m＞T_m（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法、等比数列的证明和数列前m项和的比较，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件．