Question

（2013•佛山一模）数列{a_n}的前n项和为S_n=2a_n-2，数列{b_n}是首项为a₁，公差不为零的等差数列，且b₁，b₃，b₁₁成等比数列．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（3）求证：

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+…+

bn

an

＜5．

Answer 1

分析：（1）由S_n=2a_n-2，分别令n=1，2，3可求a₁，a₂，a₃
（2）n≥2时，由a_n=s_n-s_n-1可得a_n=2a_n-1，结合等比数列的通项公式可求a_n，然后由b₁=a₁且b₁，b₃，b₁₁成等比数列可求公差d，进而可求通项
（3）令T_n=

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+…+

bn

an

，代入结合项的特点考虑利用错位相减求和先求出左边的式子的和，然后可证明

解答：（本题满分14分）
解：（1）∵S_n=2a_n-2，
∴当=1时，a₁=2a₁-2，解得a₁=2；
当n=2时，S₂=2+a₂=2a₂-2，解得a₂=4；
当n=3时，s₃=a₁+a₂+a₃=2a₃-2，解得a₃=8．-----------------（3分）
（2）当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，-----（5分）
得a_n=2a_n-1又，a₁=2，
∴数列{a_n}是以2为首项，公比为2的等比数列，
所以数列{a_n}的通项公式为an=2n．-----------------（7分）
b₁=a₁=2，设公差为d，则由且b₁，b₃，b₁₁成等比数列
得（2+2d）²=2（2+10d），-----------------（8分）
解得d=0（舍去）或d=3，----------------（9分）
∴b_n=3n-1．-----------------（10分）
（3）令T_n=

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+…+

bn

an

=

2

2

+

5

22

+…+

3n-1

2n

，
∴2T_n=2+

5

2

+

8

22

+…+

3n-1

2n-1

，-----------------（11分）
两式式相减得Tn=2+

3

2

+

3

22

+…+

3

2n-1

-

3n-1

2n

=2+

3 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

3n-1

2n

=5-

3n+5

2n

，-----------------（13分）
又

3n+5

2n

 ＞0，故：

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+…+

bn

an

＜5．．-----------------（14）

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列，等比数列的通项公、性质及等差数列的通项公式的应用
，数列的错位相减求和方法的应用，适用具有一定的计算量